جواب کاردرکلاس صفحه 10 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 1 صفحه 10 حسابان دوازدهم سلام دانش‌آموزان عزیز! این سوال در مورد نوع دیگری از **تبدیلات نمودار توابع** است که به آن **انبساط یا انقباض افقی** می‌گویند. وقتی متغیر $x$ را در یک عدد ثابت $k$ (در داخل پرانتز تابع) ضرب می‌کنیم، نمودار تابع جدید $y = f(kx)$ از نظر افقی (در راستای محور $x$) تغییر می‌کند. ### 1. تعیین برد (Range) **برد** تابع، مجموعه‌ای از خروجی‌های ($y$) آن است. در تابع جدید $y = f(kx)$، ما همچنان از تابع اصلی $f$ استفاده می‌کنیم و تنها ورودی آن تغییر کرده است. اگرچه ورودی تغییر کرده، اما تمام خروجی‌هایی که تابع $f$ در حالت عادی می‌توانست تولید کند، همچنان تولید می‌شوند. به عبارت دیگر، ضرب شدن $x$ در $k$ **هیچ تاثیری بر مقادیر خروجی (برد)** ندارد. بنابراین، برد تابع جدید **تغییر نمی‌کند**. * برد تابع $y = f(x)$: $$R_f = [c,d]$$ * برد تابع $y = f(kx)$: $$R_{fk} = [c,d]$$ ### 2. تعیین دامنه (Domain) **دامنه** تابع، مجموعه‌ای از ورودی‌های ($x$) مجاز است. دامنه تابع اصلی $f(x)$ بازه $[a,b]$ است. این یعنی برای اینکه تابع $f$ بتواند عمل کند، **ورودی آن** باید در این بازه باشد: $$a \leq \text{ورودی } f \leq b$$ در تابع جدید $y = f(kx)$، ورودی تابع $f$ عبارت $kx$ است. پس باید داشته باشیم: $$a \leq kx \leq b$$ برای پیدا کردن دامنه تابع جدید، باید نامساوی بالا را برای $x$ حل کنیم. اینجا باید دو حالت $k > 0$ و $k < 0$ را بررسی کنیم: #### الف) حالت $k > 0$ (عدد ثابت، مثبت است) اگر $k$ مثبت باشد، هنگام تقسیم نامساوی بر $k$، جهت نامساوی **تغییر نمی‌کند**: $$\frac{a}{k} \leq \frac{kx}{k} \leq \frac{b}{k}$$ $$\frac{a}{k} \leq x \leq \frac{b}{k}$$ بنابراین، دامنه تابع جدید $y = f(kx)$ بازه $\left[\frac{a}{k}, \frac{b}{k}\right]$ خواهد بود (یک **انقباض افقی** با ضریب $\frac{1}{k}$). * دامنه تابع $y = f(kx)$ برای $k>0$: $$D_{fk} = \left[\frac{a}{k}, \frac{b}{k}\right]$$ #### ب) حالت $k < 0$ (عدد ثابت، منفی است) اگر $k$ منفی باشد، هنگام تقسیم نامساوی بر $k$، جهت نامساوی **تغییر می‌کند**: $$\frac{a}{k} \geq \frac{kx}{k} \geq \frac{b}{k}$$ یا به عبارت دیگر و به ترتیب از کوچک به بزرگ: $$\frac{b}{k} \leq x \leq \frac{a}{k}$$ (توجه کنید که چون $k$ منفی است، $\frac{b}{k}$ کوچکتر از $\frac{a}{k}$ خواهد بود) بنابراین، دامنه تابع جدید $y = f(kx)$ بازه $\left[\frac{b}{k}, \frac{a}{k}\right]$ خواهد بود (یک **انقباض افقی** و **قرینه‌یابی نسبت به محور $y$**). * دامنه تابع $y = f(kx)$ برای $k<0$: $$D_{fk} = \left[\frac{b}{k}, \frac{a}{k}\right]$$ | | دامنه | برد | |:---:|:---:|:---:| | تابع $f(x)$ | $[a,b]$ | $[c,d]$ | | تابع $f(kx)$ ($k>0$) | $\left[\frac{a}{k}, \frac{b}{k}\right]$ | $[c,d]$ | | تابع $f(kx)$ ($k<0$) | $\left[\frac{b}{k}, \frac{a}{k}\right]$ | $[c,d]$ |